AnadoluTayfası.Net ( ATN )
Ah dünya, sen neden böylesin.. Arada bir gülen görmesem, ölesim geliyor, ölesim..
Geri git   AnadoluTayfası.Net ( ATN ) > Vee Ders.. > Dersler.. > Matematik

Küme Kavramı

Matematik
Küme Kavramı, Küme Kavramı Küme Kavramı Küme Kavramı Nedir - Matematikte Küme Kavramı - Küme Kavramı Hakkında - Kümeler Kümenin tanım yoktur. Bundan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır. Kümeye ait olan şeylere kümenin elemanı denir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∆ simgesi ile gösterilir. Küme üç türlü ifade edilir. 1. Liste Yöntemi : Kümeye ait olan şeyler iki paragraf parantezi içine liste olarak yazılır. (Bir eleman küme ve Küme Kavramı 6. sinif kümelerde tarali bölge, 6.sınıf matematik tümleyen ile ilgili örnekler, 6.sınıf matematik tümleyen örnekleri, kümeler çözümlü sorular taralı bölge, kümelerde taralı alan çözümleri, kümelerde taralı alan çözümlü test, kümelerde taralı bölge, hakkında bilgiler ve daha fazlasını içeriyor.. Devamını Oku...

 
09-08-2010 01:10 Yazan: Bilgili
Küme Kavramı

Küme Kavramı

Sponsorlu Bağlantılar

Küme Kavramı Küme Kavramı Nedir - Matematikte Küme Kavramı - Küme Kavramı Hakkında - Kümeler
Kümenin tanım yoktur. Bundan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır. Kümeye ait olan şeylere kümenin elemanı denir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∆ simgesi ile gösterilir.

Küme üç türlü ifade edilir.

1. Liste Yöntemi :

Kümeye ait olan şeyler iki paragraf parantezi içine liste olarak yazılır. (Bir eleman küme de ancak bir kez yazılır.)

Örneğin; {1, 2, 3, 4}

{a, b, c, d, e}

kümeleri liste ile yazılmıştır.

2. Koşullu Yöntem (Ortak Özellikli Yöntem)

Kümeyi oluşturan şeylerin ortak özellikleri varsa bu yöntemle yazılır. Kümeye ait olan şeyleri bir harfle gösterir, bir çizgi veya ( koyarak ortak özelliği belirten gerek ve yeter koşuluna uyarız. Bunu da iki paragraf parantezi arasında gösteririz.

B = { x | 0 < x < 5, x ÎZ }

(Bu kümeni elemanlarının olduğunu görüyoruz.)


3. Şema İle Gösterme :

kümeye ait şeyleri bir kapalı eğri içinde yazarız.

Örneğin B = {1, 2, 3, 4} ise bunun şema ile gösterimi:





şeklindedir.

Kümenin elemanı (Œ) ile belirlenir. Örneğin yukarıdaki küme için 2 Œ B, 3 Œ B gibi.

5 œ B (5, B nin elemanı değildir.)


EŞİT KÜMELER

Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

Örneğin A = {0, 1, 2, 3}

ve B = { x | 0 ≤ x < 4, x ÎZ }

kümeleri eşit kümelerdir. (A = B)

Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) olarak belirlenir. s(A) = 4 gibi. Ya da n(A) ile belirlenir.

ALT KÜME

A kümesinin her elemanı B kümesinin bir emelanı ise A ya B nin alt kümesi veya B, A kümesini kapsar denir. A Ã B biçiminde gösterilir.

Örneğin

A = {0, 2, 4} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ise

A Ã B dir.

Alt Kümenin Özellikleri :

1. Ø, Her A kümesinin bir alt kümesidir. 2. Her küme kendisinin alt kümesidir. "A, A Ã A (yansıma özelliği)

3. A Ã B , B Ã A ª A Ã C (geçişme özelliği) 4. A Ã B , B Ã A ª A = B (Ters simetri özelliği)

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.
ÖZ ALT KÜME

Kendinden başka alt kümelere öz alt küme denir.

n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n–1 dir.

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:

( ) = formülü ile kullanılır.

NOT :

n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n – r elemanlı alt küme sayısına eşittir.

Bir A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı iki elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu küme kaç elemanlıdır?

Çözüm : n elemanlı kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n – r elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir.

r = (n – r) = n olduğu için

3 + 2 = 5, A kümesinin eleman sayısıdır.

A = {a, b, c} kümesinin kaç tane alt kümesi, kaç tane özalt kümesi vardır?

Çözüm : Alt küme sayısı 23 = 8, Öz alt küme sayısı 23 – 1 = 7 dir.

A = {a, b, c, d, e, f} kümesnin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı vardır?

Çözüm : Aranılan alt kümelere {b, ., .} biçimindedir. (.) ların yerine kümenin b den başka 5 tane elemanından 2 tanesi gelecektir. O halde; ( ) = = 10. 10 tane üç elemanlı alt kümede b vardır.

Dört elemanlı alt kümelerin sayısı, üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane beş elemanlı alt kümesi vardır?

Çözüm : Kümenin eleman sayısı: 4 + 3 = 7 dir. O halde yedi elemanlı kümenin 5 elemanlı alt küme sayısı: ( ) = = 21 bulunur.

Bir kümenin 3 den az elemanlı alt kümelerinin sayısı 16 ise o küme kaç elemanlıdır?

Çözüm : 3 den az elemanlı, ∆ , bir elemanlı ve 2 elemanlı alt küme sayısı demektir. Küme n elemanlı ise

( ) + ( ) + ( ) = 16

+ + = 16,

1 + n + = 16

2 + 2n + n2 – n = 32

n2 + n – 30 = 0

(n – 5) (n + 6) = 0 ª n = +5 ve n = –6 eleman sayısı negatif olamaz.

Kümenin eleman sayısı 5 dir.

A = { 1, 2, 3, 4, 5, x, y } kümesinin, içerisinde x, y elemanları bulunmayan, dört elemanlı alt kümesi kaç tanedir?

Çözüm : x, y elemanları bulunan dört elemanlı alt küme sayısı

( ) = = 10.

A kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı:

( ) = = 35 dir.

x, y elemanları bulunmayan dört elemanlı küme sayısı : 35 – 10 = 25 dir.

SONLU KÜME

Kendi öz alt kümelerinden hiçbiri ile 1 – 1 eşlenemeyen kümelere sonlu küme denir.

Örneğin A = {1, 2} kümesi sonlu kümedir.

Öz alt küme sayısı 31 olan bir kümenin 3 elemanlı alt kümesi kaç tanedir? (Bu küme sonlu mudur?)

Çözüm : n elemanlı kümenin öz alt kümesi 2n – 1 = 31 ®2 n = 32 = 25

n = 5 bulunur. Bu küme sonludur. 5 elemanlı kü-menin üç elemanlı alt küme sayısı ise ( ) = = 10 bulunur.

KÜMELERDE İŞLEMLER


BİRLEŞİM (È ) :

Tanım : A ve B kümelerinin birleşimi :

A È B = { x : x Î A veya x Î B } dir.

Örneğin A = {a, b, c} B = {c, d, x, y} ise A È B = {a, b, c, d, x, y} dir.

Şema ile



BİRLEŞİMİN ÖZELLİKLERİ (È )

1. A È A = A

2. A È B = B È A (Değişme)

3. (A È B) È C = A È (B È C) (Birleşme)

4. A È ∆ = ∆È» A = A

5. (A Ã B) ® A » B = B

6. (A Ã B) ® (A » C) Ã (B » C) (Her C için)

7. (A Ã B) ®A Ã (B » C) (Her C için)

8. (A = B) ®(A » C) = (B » C) (Her c için)

9. (A » C) = (B » C) olması A = B olmasını gerektirmez.

10. (A » C) Ã (B » C) olması A Ã B olmasını gerektirmez.


(9. ve 10. da görüldüğü gibi birleşimde sadeleşme özelliği yoktur.)


KESİŞİM («)

A ve B kümelerinin kesişimi:

A « B = { x | x ÎA ve x Î B }

Örneğin A = { 1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 5, 7, 9}

A « B = {1, 3} tür.

Şema ile A « B nin gösterimi

dır.

KESİŞİMİN ÖZELLİKLERİ («)

1. A « A = A

2. A « ∆ = ∆ « A = ∆

3. A « B = B « A (Değişme)

4. (A « B) « C = A « (B « C) (Birleşme)

5. (A Ã B) ® A « B = A

6. (A Ã B) ® (A « C) Ã (B « C) ("C, için)

7. (A Ã B) ® (A « C) Ã B ("C, için)

8. (A Ã B) ® (A « C) Ã (B » D) ("C, D için)

9. (A = B) ® (A « C) = (B « C) ("C, için)

10. (A « C) = (B « C) olması A = B olmasını gerektirmez.

11. (A « C) Ã (B « C) olması A Ã B olmasını gerektirmez.



Not: Kesişimin eşitlik ya da alt küme olmada sadeleşme özelliği yoktur.


Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği vardır.


Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği vardır.


A ve B kümelerinin birleşimlerinin eleman sayıları


A, B, C kümelerinin birleşiminin eleman sayısı :

AYRIK KÜMELER

A « B = ∆ ® A ve B ayrık kümedir.

Ayrık kümelerde



Bir sınıfta bulunan öğrencilerin tümü voleybol veya basketboldan en az birini oynamaktadır. 21 öğrenci voleybol, 24 öğrenci basketbol ve 7 öğrenci de herikisini de oynadığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır?


Çözüm :

V: Voleybol oynayanların kümesi,

B: Basketbol oynayanların kümesi ise,

s(V » B) = s(V) + s(B) – s(V « B)

= 21 + 24 - 7

= 38 bulunur.

Venn şeması ile çözün:

s(V » B) = 14 + 7 + 17 = 38 bulunur.



Bir spor kulübünde futbol oynayan 60, voleybol oynayan 42 ve basketbol oynayan 40 kişi vardır. Bu kulüpte futbol – voleybol oynayan 18, futbol basketbol oynayan 16, her üçünü de oynayan 14 kişi bulunuyor. Bu kulüpte kaç sporcu vardır?



Çözüm :

s(F»B»V) = 60 + 42 + 40 – 20 – 18 – 16 + 14 = 102

sporcu

Venn şeması ile çözüm:



Venn şeması ile çözümde daima en çok kesişen bölgeden başlanır.

Oyuncu sayıları şekilde görüldüğü gibi yerleştirilir. Toplamı

38+6+14+2+18 + 4 + 20 = 102 bulunur.

EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME

Verilen kümeyi alt küme kabul eden kümeye onun evrensel kümesi denir. E ile gösterilir.

Örneğin, A = {0, 1,2 3, 4} ise

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, veya

E = {x | x 0 ≤ x < 20, x Œ N} ya da

E = N olarak alınabilir.


Not: Evrensel küme verilmemiş ise biz en dar olanını tercih ederiz.




TÜMLEME

Bir A kümesinin elemanı olmayıp da onun evrensel kümesinin elemanlarından oluşan kümeye A nın tümleyeni denir. Ve A' yada ~A biçiminde gösterilir.



E = {0, 1, 2, 3, , 5} ve A = {0, 2, 4} ise A nın tümleyeni;

A' = {1, 3, 5} kümesidir.


TÜMLEME ÖZELLİKLERİ

1. (A')' = A

2. ∆' = E

3. E' = ∆

4. (A»B)' = A'«B'

5. (A«B)' = A' » B'

6. A Ã B ® B' Ã A'

7. A « B = ∆ = A Ã B' ve B Ã A'

8. A » A' = E

9. A « A' = ∆






FARK KÜMELERİ

A ve B kümelerinin farkı A \ B = {x | x Œ A ve x œ B} olarak tanımlanır.

Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 3, 4} ise

A \ B = {2, 4}



A = {x | 2≤ x < 7, x Œ R}

B = {x| 5 < x ≤ 11, x Œ R} ise

A \ B kümesini bulunuz?


Çözüm :

A ve B kümelerini reel sayı ekseninde gösterelim.

A \ B = {x | 2 ≤ x ≤ 5 x Œ R}

Bunu x Î [2; 5] şeklinde de gösterebiliriz.




FARK KÜMELERİNDE ÖZELLİKLER

1. A \ A = ∆

2. A \ ∆ = A

3. ∆ \ A = ∆

4. A \ B = A « B'

5. (A\B) »B = A » B

6. (A \ B) « B = ∆

7. (A \ B)' = A' » B

8. (A \ B) » (B \ A) = (A » B) \ (A « B)

9. (A \ B) « A = A \ B

10. (A \ B) » A = A

11. (A \ B) » (A « B) = A





(A \ B) \ C nin eşiti aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) A « B' « C' B) A \ (B » C)

C) A «(B»C)' D) (A \ B) « C'

E) A « B « C'


Çözüm :


(A\B) \ C = (A \ B) « C'

= (A « B') « C'

= A « (B' « C')

= A « (B » C)'

= A \ (B » C)

Burada bulunan eşitlikler A, B, C, D seçeneklerinde var. O halde

Cevap : E dir.



Taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir?

A) A « B « C B) A « ( B » C)'

C) (A « C)' « C D) B « (A » C)'

E) B « (A « C)'


Çözüm :

Taralı bölge B nin içinde A ile C nin dışında olduğu için B « (A » C)' cevapdır.

Cevap : D





s(A \ B) = 5, s(A « B) = 2 ise s(A) nın eşiti nedir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


Çözüm :

(A \ B) » (A « B) = A olduğu için s(A) = 5 + 2 = 7 bulunur.

Cevap : E

s(A) = 2s(B), s(A \ B) = 10 ve

s(A « B) nin alt kümelerinin sayısı 16 ise A » B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20


Çözüm :

(A \ B) » (A « B) = A olduğu için 10 + 4 = s(A) ve s(B) = s(A) olduğundan s(B) = 7; s(B \ A) = 3 bulunur. Bunları Venn şemasına yerleştirirsek

s(A » B) = 17

Cevap : C



Bir E evrensel kümesinde verilen A ve B kümeleri için s(A) + s(B') = 18, s(B) + s(A') = 24 ise bu evrensel küme kaç elemanlıdır?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24



Çözüm :

S(A) + s(A') = s(E) ve s(B) + s(B') = E olduğu için verilenleri taraf tarafa toplayalım.


2 s(E) = 24 ® s(t) = 21 bulunur.

Cevap : B



s(B') = 13, s(A') = 10 ve s(B) = 8 ise s(A) kaçtır?


Çözüm :

s(B) + s(B') = s(E) O halde

s(E) = 13 + 8 = 21 dir.

s(A) + s(A') = s(E) olduğundan

s(A) = 21 – 10 = 11 bulunur.

taralı bölge A È B dir.

Sponsorlu Bağlantılar
Gitti Gidiyor..
 
Benzer Konular
Konu Konuyu Başlatan Forum Cevaplar Son Mesaj
İletişim Kavramı giray41 Edebiyat 0 09-25-2010 21:15
Kimyasal Bağ Kavramı TUtHiii Kimya 0 09-25-2010 21:15
Küme Baş Ağrısı TUtHiii Hastalık Çeşitleri 0 05-11-2010 15:41
KEVSER KİME VERİLİR? Selametle Kuran-ı Kerim 0 01-07-2010 16:52
Matematik Akıl Sorusu-2 (Boş küme ) Avea Zeka Testi / Akıl Oyunları 0 12-06-2009 14:10



Powered By vBulletin® Copyright ©2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimization by vBSEO 3.6.0 PL2 ©2011, Crawlability, Inc.

ShevKose